Barwert einer Leasingrate

Die Bedeutung von Barwert und Endwert haben wir in dem vorangegangenen Kapitel geklärt. Ein Geldbetrag mit einem zu einem Stichtag bekannten Wert wächst bei gegebener Verzinsung über eine bestimmte Zeit bis schließlich der Endwert erreicht ist. Umgekehrt kann man bei bekannter Verzinsung von einem bekannten zukünftigen Wert auf den Barwert zu einem zeitlich vorgelagerten Stichtag schließen.

Barwert einer nachschüssigen Leasingrate

Als nächstes wollen wir den Barwert einzelner Leasingraten berechnen. Hierzu folgende Ausgangswerte:

Leasingnehmer und Leasinggesellschaft vereinbaren die Nutzungsüberlassung eines Computers auf drei Jahre, also 36 Monate. Der Anschaffungswert des Computers ist 5.000, die 36 mal zum jeweiligen Monatsende zu zahlende Leasingrate beträgt 154,39, die Leasinggesellschaft erzielt 7% p. a. (p. a. = per annum = pro Jahr) durch die zu zahlenden Leasingraten. Es handelt sich um einen Vollamortisationsleasingvertrag. Kurz notiert ist folgendes festzuhalten:

Vertragstyp
AW (Anschaffungswert)
LFZ (Laufzeit)
LR (Leasingrate)
Zins p.a.
Zahlungsfälligkeit
Vollamortisation
5.000
36 Monate
154,39
7%
monatlich nachschüssig
 

Hier treten wieder einige neue Aspekte der Finanzmathematik auf. Für weiterführende Aufgaben ist es sinnvoll, sich bewußt zu machen, dass der Anschaffungswert für die Leasinggesellschaft eine Auszahlung darstellt, die zu einem bestimmten Zeitpunkt getätigt wird. Obwohl es selten der Realität entspricht, gehen die meisten Leasinggesellschaften innerhalb ihrer Kalkulation davon aus, dass die Auszahlung des Anschaffungswertes und der Beginn der Überlassung des Leasingobjekts zum selben Zeitpunkt geschehen. Die Leasingraten als Entgelt für die Nutzungsüberlassung stellen Einzahlungen dar. Somit ist der Kalkulationszeitraum in aller Regel bestimmt durch Beginn und Ende der Nutzungsüberlassung.

Zinssätze werden üblicherweise als Zins pro Jahr ausgedrückt. Was in den bisherigen Ausführungen einfach gegeben war, müssen wir uns ab jetzt besonders bewußt machen. Der im Beispiel genannte Zinssatz stellt einen Jahreszinssatz dar.

Die Leasingraten fallen monatlich in gleicher Höhe an. Man spricht in diesem Zusammenhang von einer Annuität. Weiterhin sind die Leasingraten nachschüssig fällig, also zum Ende jeder Periode bzw. zum Ende jedes Monats während der Gebrauchsüberlassung. Auch dies ist ein Aspekt, der dem Leser  klar sein muß.

Bevor wir uns jetzt der eigentlichen Aufgabenstellung zuwenden, sollen die o. g. Aspekte noch mal deutlich gelistet werden.

1)
Die Zahlung des Anschaffungswertes ist eine Auszahlung der Leasinggesellschaft

2)
Die zu zahlenden Leasingraten stellen für die Leasinggesellschaft Einzahlungen dar.

3)
Der Kalkulationszeitraum beginnt mit dem Beginn der  Nutzungsüberlassung und endet mit dem Ende der Nutzungsüberlassung. Dies ist zumindest der Regelfall. Bei komplexeren Leasingengagements kann der Kalkulationszeitraum auch vom Nutzungszeitraum abweichen.

4)
Zinssätze werden für gewöhnlich als Jahreszinsätze angegeben. Dies muß man berücksichtigen, wenn man z. B. mit monatlichen Raten kalkuliert.

5)
Leasingraten können vor- oder nachschüssig (selten auch mittelschüssig) fällig werden. Sind z. B. monatliche Raten vereinbart, heißt vorschüssig, dass die Leasingrate zu Beginn jedes Nutzungsmonats gezahlt wird, wohingegen nachschüssige Leasingraten zum Ende jedes Nutzungsmonats gezahlt werden. Dies wirkt sich auf die Kalkulation aus.

Kommen wir wieder zu den Ausgangswerten, die zur Erinnerung noch einmal gelistet werden.

Vertragstyp
AW (Anschaffungswert)
LFZ (Laufzeit)
LR (Leasingrate)
Zins p.a.
Zahlungsfälligkeit
Vollamortisation
5.000
36 Monate
154,39
7%
monatlich nachschüssig

Zur Verallgemeinerung spricht man häufig nicht von konkreten Zeitdaten. Der Buchstabe "t" (t für tempus = Zeit (Latein) oder auch das englische time ) dient oft als Platzhalter für eine Periode, also zum Beispiel einen Monat. t1 z. B. ist der erste Monat, t2 der  zweite Monat usw. Wer solche Verallgemeinerungen nicht mag, kann sich ja statt des "t" tatsächliche Daten ausdenken und  z. B. für t1 den Januar 2003 nehmen. Die Verwendung des Buchstaben t für Zeitpunkte und -räume entspricht den Konventionen der Mathematiker. t0 wird gemäß diesen Konventionen häufig als Bezeichner für den Beginn des Betrachtungszeitraums gewählt.

Es gibt also 36 Leasingraten, die jeweils zum Ende (nachschüssig) von t1 bis t36 gezahlt werden. Betrachten wir nun eine beliebige Leasingrate etwas genauer. Wie ermitteln wir beipielsweise den Barwert der Leasingrate in t12 zu Beginn des Kalkulationszeitraums, also in t0. Hierzu nehmen wir die erste allgemeine Regel aus dem Kapitel "Zinseszinsen", nämlich

wobei gilt:

            und          

Doch Vorsicht, unser "i" ist diesmal nicht der Jahreszinssatz. Da wir hier in Monatsperioden rechnen, ist i nur der auf den Monat entfallende Teil des Jahreszinssatzes. Wir müssen also den Jahreszinssatz durch 12 teilen, so dass sich ergibt

Allgemein gilt also für i

Konkret für unser Beipiel bedeutet das

Um letztlich an den Barwert der Leasingrate aus t12 in t0 zu gelangen, rechnen wir

Der eine oder andere mag es schon ahnen. Führt man diese Abzinsung für jede einzelne Leasingrate durch, so erhält man 36 auf t0 bezogene Barwerte, deren Summe 5.000 ist (vgl. Anschaffungswert des Computers). Wie man sich den allerdings immensen Rechenaufwand erspart, der durch die Berechnung einzelner Barwerte entsteht, wird in den folgenden Kapiteln behandelt.

Barwert einer vorschüssigen Leasingrate

Zunächst wollen wir uns jetzt noch der Variante zuwenden, wenn statt nachschüssig vorschüssig gezahlt wird.

Hierzu wieder ähnliche Ausgangswerte wie zuvor:

Vertragstyp
AW (Anschaffungswert)
LFZ (Laufzeit)
LR (Leasingrate)
Zins p.a.
Zahlungsfälligkeit
Vollamortisation
5.000
36 Monate
153,49 (nicht verwechseln, oben 154,39)
7%
monatlich vorschüssig

Noch einmal zur Wiederholung. Vorschüssig bedeutet fällig zum Anfang der jeweiligen Periode. Das bedeutet zum Beispiel für die erste Leasingrate, dass sie am Anfang von t1 (bei nachschüssig wäre es das Ende von t1) gezahlt wird.

Eine kleine Übungsfrage:
Wie lautet der Barwert der ersten Leasingrate in t0.

Antwort:
Der Barwert der ersten (wohlbemerkt vorschüssigen) Leasingrate ist die Rate selbst (im Beipiel also 153,49), da wir auf den Beginn von t1 (entspricht t0) abzinsen müssen und die erste Rate auch zu Beginn von t1 fällig ist. Demzufolge zinsen wir über null Monate ab.

In diesem Frage-Antwort-Spiel liegt auch schon der Kern der vorschüssigen Zahlungsweise. Während wir bei der nachschüssigen Zahlungsweise die erste Rate bereits über einen Monat abzinsen müssen, muß die erste Rate bei vorschüssiger Zahlungsweise nicht abgezinst werden. Dies setzt sich für alle folgenden Raten fort. Die zweite Rate wird nachschüssig über zwei Perioden abgezinst und vorschüssig nur über eine Periode. Das heißt, dass in der finanzmathematischen Theorie das Ende der einen Periode gleichzeitig der Anfang der direkt folgenden Periode ist.

Wie lautet dann zum Beispiel der Barwert der vorschüssigen Leasingrate in t5 in t0.

Im Prinzip können wir dieselbe allgemeine Formel verwenden wie oben. Jedoch müssen wir berücksichtigen, dass unser n nicht 5 sondern 5 - 1 = 4 (allgemein: n-1) ist, so dass die allgemeine Formel zur Berechung des Barwerts einer vorschüssigen Leasingrate lautet:

wobei gilt:

    und    

 

Übertragen wir die Beispieldaten auf die Formel so lautet der Barwert der Leasingrate aus t5 in t0

Selbstverständlich gilt auch hier, dass die Summe der Barwerte aller vorschüssigen Leasingraten in t0 5.000 ergibt.

Mittelschüssige Leasingraten

Mittelschüssige Leasingratenzahlung wird nur selten vereinbart. Möglicherweise liegt das daran, dass den verhandelnden Parteien, also Leasinggesellschaft und Leasinginteressent, der Sinn der mittelschüssigen Zahlung nicht ganz einleuchten will. Das Thema "Barwert einer mittelschüssigen Leasingrate" wird an dieser Stelle ausgelassen, da Mittelschüssigkeit erstens nur selten vorkommt und zweitens im aktuellen Gedankengang nur Verwirrung stiften würde.

Vor einem Irrtum soll der Leser jedoch bewahrt werden. Mittelschüssig heißt nicht unbedingt fällig zur Mitte des Kalendermonats, sondern fällig zur Mitte der Rechenperiode. Diesem Irrtum erliegen bisweilen sogar gestandene Leasingfachkräfte. Beginnt die Nutzungsüberlassung des Leasingobjekts 
z. B. zum 15.04.2003, dann ist die erste monatlich und mittelschüssig fällige Leasingrate zum 01.05.2003 fällig.

Zusammenfassung

In diesem Kapitel haben wir den Barwert einzelner Leasingraten zum Beginn des Kalkulationszeitraumes ermittelt. Hierbei mußten wir insbesondere zwischen Jahreszinsen und Monatszinsen zu unterscheiden lernen. Ferner haben wir die Begriffe vorschüssig und nachschüssig genauer kennengelernt und die mit diesen Begriffen zusammenhängenden finanzmathematischen Besonderheiten erörtert.