Laufzeit berechnen

Will man die Laufzeit eines Leasingvertrags ermitteln, so kommt man mathematisch um einen gewissen Abstraktionsgrad nicht herum. Der Grund hierfür liegt darin, dass die Laufzeit bzw. die Anzahl der Zahlungsperioden durch eine Hochzahl repräsentiert wird, so dass der Kern der Übung die Auflösung einer Exponentialgleichung ist. Exponentialgleichungen löst man unter Zuhilfenahme des Logarithmus bzw. der Logarithmusgesetze auf. Somit empfiehlt sich zunächst ein Exkurs zum Thema Logarithmus, um dem anschließenden Lösungsweg zur Ermittlung der Laufzeit folgen zu können.

Logarithmus

Der Logarithmus stellt, wie schon gesagt, eine Hochzahl dar, also eine Zahl mit der man eine andere Zahl (Basis genannt) potenzieren muß, um eine angegebene Zahl zu erhalten. So ist z. B. der Logarithmus von 1000 zur Basis 10 die Zahl 3. D. h. 10 muß mit 3 potenziert werden, um 1000 zu erhalten. Die mathematische Schreibweise ist: log10 1000 = 3. Leicht nachzuvollziehen ist sicherlich, dass
10 * 10 * 10 = 1000 sind. Schwieriger fällt das schon aus, wenn man die Aussage liest:
log1,5 129,746338 = 12. Bis zur Einführung des Taschenrechners hat man Logarithmen aus sog. Logarithmentafeln abgelesen, was mitunter ein mühseliges Unterfangen darstellte. Heute findet man auf jedem guten Taschenrechner Tasten für zwei "Standardlogarithmen", bei denen die Basis schon vorgeben ist.  Es handelt sich einerseits um den Zehnerlogarithmus (Basis ist 10) und andererseits um den natürlichen Logarithmus (Basis ist die Eulersche Zahl e = 2,71828...). Für den Zehnerlogarithmus schreibt man statt log10 b nur lg b und für den natürlichen Logarithmus statt loge b nur ln b. Zum rechnen mit Logarithmen hat die Mathematik Logarithmusgesetze entwickelt, von denen ein Gesetz hier aufgeführt werden soll, da es weiter unten zur Anwendung kommt.

loga br = r * loga b

Dieses Logarithmusgesetz soll kurz durch ein einfaches Beispiel verdeutlicht werden.

lg 103 = 3 * lg 10 = 3

Der Zehnerlogarithmus von 103 (= 1000) ist 3, denn 10 hoch 3 ist 1000. 3 mal der Zehnerlogarithmus von 10 ist ebenfalls 3, denn lg 10 = 1 (101 = 10) und 3 * 1 ist 3.

Da die Ermittlung von Leasingvertragslaufzeiten unter Zuhilfenahme der Logarithmusrechnung bereits recht komplex ist, soll hier auf eine umfangreiche Darstellung mehrer Varianten von Vertragstypen zugunsten einer ausführlichen Erläuterung zur Ermittlung der Leasingvertragsdauer bei einem "nachschüssigen" Vollamortisationsleasingvertrag verzichtet werden.

Ausgangspunkt ist die allgemeine Funktionsgleichung zur Ermittlung einer Vollamortisationsleasingrate.


Als ersten Schritt gilt es, die Funktionsgleichung so umzustellen, dass der Wert AnzahlPerioden möglichst separiert auf einer Seite der Gleichung steht.

 

Gleichung Umformungsschritt

  

   

   

   

    

 
  

   



    -1



   

 

 

An dieser Stelle wollen wir die Umformung der Gleichung kurz unterbrechen und uns noch einmal den Sachverhalt mit dem oben genannten Logarithmusgesetz in Erinnerung rufen. Gesucht wird der Wert AnzahlPerioden. Das oben erwähnte Logarithmusgesetz lautet: loga br = r * loga b. Setzen wir als nächstes den Zehnerlogarithmus in die Gleichung ein so steht links in der Gleichung lg fAnzahlPerioden, was dem Gesetz zur Folge gleich     AnzahlPerioden * lg f    ist. Es geht also weiter mit

 

Gleichung Umformungsschritt
 
  

   

   

   

 
   lg



    Anwendung des 
    Logarithmusgetzes auf
    der linken Seite

   

 

 

 

Die soeben erarbeitete Funktionsgleichung könne Sie gleich an einem Beispiel ausprobieren. Bekannt sind folgende Daten:

BWLeasingratenstrom (Anfangsauszahlung)                     = 25.000,00
Zins ist 9% p.a., somit ist f                                              = 0,992556
Restwert                                                                           = 0
Leasingrate monatlich , nachschüssig                           = 1.142,12

Das Ergebnis ist ein Wert nahe der 24. Grundsätzlich gilt , dass je höher die verwendete Genauigkeit bei den einzelnen Werten ist, um so näher gelangt man an die gesuchten 24 Monate Laufzeit. Als f sollte man daher den Wert  0,99255583131 und als   Leasingrate den Wert 1.142,11855698 verwenden. Eventuelle Zwischenergebnisse sollte man ebenfalls mit gleicher Genauigkeit notieren.

Auch hier sei noch mal darauf verwiesen, dass Zahlungsfälligkeiten zu beachten sind, liegt eine vierteljährlich zu zahlende Leasingrate beispielsweise vor, so ist dies bei der Ermittlung von f zu berücksichtigen. Das Ergebnis AnzahlPerioden wäre dann mit 3 zu multiplizieren, um auf die Vertragslaufzeit in Monaten zu kommen.