Teilamortisationsleasingraten

Berechnung von nachschüssigen Teilamortisationsleasingraten

Im Gegensatz zur Berechnung einer Vollamortisationsleasingrate müssen wir bei der Teilamortisationsleasingrate die Einbeziehung eines Restwertes berücksichtigen. Folgt man dem Grundgedanken des Teilamortisationsleasing, soll stellt der Restwert betragsmäßig den (geschätzten) Marktwert zum Ende der Grundmietzeit oder anders den nicht erfolgten Wertverzehr an dem/den Leasingobjekt(en) dar. Der in diesem Zusammenhang oft zitierte Werbespruch von Leasinggesellschaften lautet: "Zahlen Sie nur für Nutzung des Leasingobjekts, nicht für das Eigentum".

Finanzmathematisch ist der Restwert, wie schon zuvor erwähnt, der Teil der Anschaffungskosten der Leasinggesellschaft, der nicht durch die Zahlung von Leasingraten getilgt wird. Gleichwohl berechnen Leasingunternehmen jedoch in aller Regel Zinsen auf den Restwert in die Leasingrate mit ein. Ein guter Vergleich für die Restwertbehandlung sind z. B. Baudarlehen, für die man nur Zinsen zahlt und zum Ende der Darlehenslaufzeit die Darlehenssumme auf einen Schlag zurückzahlt, was typischerweise durch die Ablaufleistung aus einer parallel abgeschlossenen Lebensversicherung erfolgt. Recht ähnlich verhält es sich mit dem Restwert innerhalb der Leasingkalkulation, zumindest aus mathematischer Sicht.

Zur Veranschaulichung

Eine Leasinggesellschaft kauft einen PKW zum Zwecke des Verleasens für 60.000. Der Leasingvertrag soll drei Jahre laufen. Die Leasinggesellschaft geht davon aus, dass der PKW nach drei Jahren noch einen Marktwert von 30% des ursprünglichen Anschaffungswertes, also 18.000, haben wird. Die zu berechnende Leasingrate muß demnach Zins und Tilgung für 42.000 und nur Zinsen für 18.000 enthalten.

Dies mathematisch umzusetzen ist einfacher als man zunächst vermuten mag. Man berechnet lediglich die Vollamortisationsleasingrate bezogen auf 42.000 und addiert den periodengerechten Zins (z. B. den monatlichen Zins, wenn monatliche Leasingratenzahlung vereinbart ist) für 18.000.

Allgemein also

AAZ = Anfangsauszahlung (im Beispiel 60.000)
RW = Restwert

wobei gilt         und   

Zwischen dem Gleichheitszeichen und dem Pluszeichen befindet sich die bereits bekannte Formel für die Berechnung einer nachschüssigen Vollamortisationsleasingrate. Lediglich der Wert BWLeasingratenstrom wurde durch AAZ-RW ersetzt, um zu erreichen, das sich dieser Teil der gesamten Formel nur auf die Anfangsauszahlung abzüglich des Restwertes (im obigen Beispiel 42.000) bezieht. Rechts vom Pluszeichen wird der periodengerechte Zins für den Restwert berechnet. Bei monatlicher Zahlungsweise und einem Jahreszins von 8% würde für i gelten

Ein anderer Weg zur Herleitung einer Funktionsgleichung für die Berechnung einer nachschüssigen Teilamortisationsleasingrate hätte auch einfach die Umstellung der bereits erarbeiteten Funktionsgleichung zur Berechnung des Barwerts des Leasingvertrags bei nachschüssiger Leasingratenzahlung und Restwert sein können. Gegen diese Vorgehensweise spricht jedoch, dass dann das Wesen des Restwerts nicht deutlich genug sichtbar gewesen wäre. Jedoch soll kurz das Ergebnis dieser Umstellung als alternative allgemeine Funktionsgleichung  zur Berechnung einer nachschüssigen Teilamortisationsleasingrate gezeigt werden.

wobei gilt         und     

Berechnung von vorschüssigen Teilamortisationsleasingraten

Bei der Herleitung einer allgemeinen Funktionsgleichung zur Berechnung einer vorschüssigen Teilamortisationsrate wollen wir uns wie oben zuvor Gedanken zum Restwert machen.

Es bietet sich an, wie oben die Formel zur Berechnung einer vorschüssigen Vollamortisationsrate um die Berechnung des periodengerechten Zinses für den Restwert zu ergänzen. Hierbei ist jedoch zu beachten, dass man den Restwert nicht einfach mit i multiplizieren kann. Zur Verdeutlichung eine kleine Geschichte:

Der Bauer Elias kommt zum Geldverleiher Pecunius und sagt: "Pecunius, ich werde in zwei Jahren durch den Verkauf eines Feldes, das ich jetzt noch bestelle, 500 Dukaten bekommen. Jedoch könnte ich das Geld heute schon gebrauchen. Wärest Du bereit, mir das Geld für zwei Jahre zu leihen. Der Zins soll 5% sein. Ich zahle ihn ein Mal pro Jahr und nach zwei Jahren bekommst Du die 500 Dukaten zurück. Pecunius, der die Geldnot seines Gegenübers erkennt, überlegt einen Augenblick und erwidert: "Nun denn, ich kenne Dich als braven Mann. D`rum ist mir nicht Bange, Dir das Geld zu leihen. Jedoch soll der Zins nicht 5% sondern 6% pro Jahr sein und den Zins mögest Du gleich zu Beginn jedes Jahres entrichten. "Wie?" entgegnet Elias "Ich soll Dir Zinsen zahlen, obwohl ich noch keinen Tag über das geliehene Geld verfügen konnte?!". Pecunius nickt bestätigend mit dem Kopf. Elias, wenn auch Bauer, aber nicht der Dümmste sagt: "Dann mußt Du mir aber jeweils 6% auf die vorab gezahlten Zinsen erlassen." Pecunius gleichsam erschrocken wie beeindruckt ob der Klugheit des Elias, zuckt mit den Augenbrauen nach oben, hält für einen Moment inne und sagt schließlich: "So sei es denn". Der besiegelnde Handschlag folgt...

Wer die Verhandlung der beiden verstanden hat, dürfte auch mit der Berechnung von Zinsen für einen Restwert bei einem vorschüssigen Teilamortisationsleasingvertrag keine Probleme haben. Man berechnet zunächst den nachschüssigen Zins für den Restwert pro Periode und zinst das Ergebnis noch mal um eine Periode ab.

Somit ist die allgemeine Funktionsgleichung zur Berechnung einer vorschüssigen Teilamortisationsleasingrate

AAZ = Anfangsauszahlung
RW = Restwert

wobei gilt          und      

Wir haben also analog zur obigen Vorgehensweise die Formel zur Berechnung einer vorschüssigen Vollamortisationsrate (zwischen "=" und "+") um die Berechnung des periodengerechten Zinses für den Restwert erweitert (rechts vom "+").

Wie oben soll auch die alternative Funktionsgleichung zur Berechnung einer vorschüssigen Teilamortisationsleasingrate hergeleitet aus der Funktionsgleichung zur Berechnung des Barwerts  von vorschüssigen Leasingraten und Restwert kurz aufgezeigt werden.

wobei gilt         und    

Zusammenfassung

Systematisch betrachtet besteht eine Teilamortisationsleasingrate aus einer Annuität bezogen auf die Anfangsauszahlung abzüglich des Restwerts und einem pro Periode zu entrichtenden Zins auf den Restwert. Zu beachten ist hierbei, dass bei vorschüssiger Zahlungsweise der periodengerechte Zins selbst noch einmal abgezinst wird. Um diese systematische Betrachtung zu erleichtern, wurden die jeweils erst genannten Funktionsgleichungen aufgeführt. Die alternativen Funktionsgleichungen hingegen entstehen durch die reine Umstellung der Barwertformel nach dem gesuchten Wert. Selbstverständlich führen beide Ansätze zum gleichen Ergebnis.