Barwert eines Zahlungsstroms

Im vorherigen Kapitel haben wir den Barwert einer beliebigen Leasingrate errechnet. Nun wollen wir uns eine Methode erarbeiten, den Gegenwartswert mehrerer Leasingraten auf einmal zu berechnen. Folgen mehrere Zahlungen aufeinander, was typisch ist für Leasingratenzahlungen, spricht man von einem Zahlungsstrom.

Wer sich bisher fragt, warum denn der Barwert so wichtig ist, dem seien zwei Hinweise gegeben. Zum einen spielt er bei vielen Fachdisziplinen eine entscheidende Rolle. Zu nennen wären hier unter anderem nationale und internationale Rechnungslegungserfordernisse, Controlling und auch die im Geschäftsverkehr mit Banken betriebene so genannte Forfaitierung.  Zum anderen, für das in diesem Beitrag behandelte Thema, bietet die Barwertformel eine gute Ausgangsbasis, um auf die Berechnung weiterer Werte innerhalb der Leasingkalkulation zu schließen. Deshalb wird die Barwertermittlung allen anderen Themen wie z. B. Berechnung einer Leasingrate oder Berechnung der Leasingvertragsdauer vorangestellt.

Barwert eines Zahlungsstroms bei nachschüssiger Zahlungsweise

Schaffen wir uns zunächst wieder Beispieldaten:

Vertragstyp
AW (Anschaffungswert)
LFZ (Laufzeit)
LR (Leasingrate)
Zins p.a.
Zahlungsfälligkeit
Vollamortisation
4.422,11
24 Monate
200,00
8%
monatlich nachschüssig

Der Barwert einer nachschüssigen Leasingrate wird mit der nachstehenden Formel ermittelt.

Es bietet sich als erster Schritt an, den Abzinsungsfaktor zu ermitteln. Hierbei ist wieder zu beachten, dass die 8% Jahreszins in einem Monatszins umzurechnen sind. Also ist unser Abzinsungsfaktor

Um den Barwert des gesamten Zahlungsstroms (im Beispiel die 24 Leasingraten je 200 DM) zu berechnen, könnte man die einzelnen Barwerte der Leasingraten addieren, so dass sich ergibt

 

 

Um zu einer platzsparenderen Formel zu gelangen, bedienen sich Mathematiker folgender Methode.

Zuerst schafft man sich eine weitere Gleichung, indem man die erste Gleichung nochmal notiert,  wobei man jedoch jeden Wert der Gleichung mit dem Abzinsungsfaktor multipliziert. Diese zweite Formel sieht dann folgendermaßen aus:

 

 

Auf der rechten Seite der Gleichung ist zu beobachten, dass sich der Exponent jeweils um 1 erhöht hat, so dass das z. B. das letzte Glied jetzt statt mit 24 mit 25 potenziert wird.

In einem zweiten Schritt subtrahiert man nun die zweite Gleichung von der ersten, d. h. man subtrahiert die linke Seite der zweiten Gleichung von der linken Seite der ersten Gleichung und die rechte Seite der zweiten Gleichung von der rechten Seite der ersten Gleichung. So entsteht eine dritte Gleichung, die einerseits viel kürzer ist als die beiden Ausgangsgleichungen und andererseits immer noch den gesuchten Barwert enthält.

Zur Verdeutlichung des Subtraktionsverfahrens notieren wir beide Gleichungen noch einmal untereinander.

Was auf der jeweils rechten Seite der beiden Gleichungen zu erkennen ist, ist dass beide Gleichungen übereinstimmende Glieder haben.  Streicht man diese Glieder aus, d. h. subtrahiert man sie voneinander, so bleibt letztlich nur noch folgendes über:

 

 

Da die gesuchte Größe jedoch der Barwert des Zahlungsstrom ist muß diese Gleichung erst noch ein wenig umgeschrieben werden und dann nach dem gesuchten Barwert aufgelöst werden. Die Umschreibung gestaltet sich folgendermaßen

 

 

Diese Umschreibung mag auf den ersten Blick nicht gleich nachvollziehbar sein. Geht man jedoch her und multipliziert auf der rechten Seite den Wert BWLeasingratenstrom mit jedem Wert in der Klammer, so erhält man den vorherigen Ausdruck. Das gleiche kann man mit der linken Seite machen, indem man 200*0,993377 einerseits mit 1 multipliziert und anderseits mit -0,993377. Auch hier gelangt man dann wieder zur vorhergehenden Form der Gleichung.

Nun gilt es nur noch, die Gleichung nach BWLeasingratenstrom umzustellen, indem man beidseitig durch (1-0,993377) dividiert. Das Ergebnis lautet dann

 

 

Rechnet man hier noch den rechten Teil der Gleichung aus, so erhält man den Wert 4.422,08. Dieser Wert entspricht bis auf 0,03 Differenz, die durch die Beschränkung auf sechs Stellen nach dem Komma zustande gekommmen sind, dem Anschaffungswert aus dem Beispieldatensatz. Hätte man hier mit höherer Genauigkeit gerechnet, dann wäre auch 4.422,11 das Ergebnis gewesen.

Die allgemeine Gleichung zur Berechnung des Barwerts eines nachschüssigen Leasingratenstroms lautet dann

wobei gilt           und    

Wohlbemerkt ist "i" der Zinssatz pro Periode. Oben haben wir die 8% Jahreszins durch 12 teilen müssen, um den monatlichen Zinssatz zu erhalten. Wie sähe unser F (Aufzinsungsfaktor) aus, wenn Leasingraten vierteljährlich gezahlt werden?

Dann wäre die Anzahl der Perioden pro Jahr 4. Also wäre F

Übertragen auf das oben genannte Beispiel wäre F dann

Der Abzinsungsfaktor f wäre dann

 

Welchen Wert müssen wir für Anzahl der Perioden einsetzen, wenn vierteljährlich gezahlt wird?

Im obigen Beispiel wäre die Anzahl der Perioden 8, da wir zwar eine Vertragslaufzeit von 24 Monaten haben, jedoch nur 4 mal pro Jahr gezahlt wird.

Barwert eines Zahlungsstroms bei vorschüssiger Zahlungsweise

Als nächstes wollen wir untersuchen, was zu beachten ist, wenn statt nachschüssiger eine vorschüssige Zahlungsweise vereinbart ist. Es empfiehlt sich, dass man in diesem Zusammenhang noch einmal kurz einen Blick auf die Berechnung des Barwerts einer vorschüssigen Leasingrate aus dem Vorkapitel wirft. Die Methode zur Herleitung der entsprechenden Formel soll analog zur oben angewandten Methode erfolgen. Notieren wir uns also zunächst die Addition der einzelnen Barwerte unter Verwendung der allgemeinen Platzhalter.

Jetzt bilden wir genau wie oben die zweite Gleichung, indem wir auf beiden Seiten mit f multiplizieren.

Wie zuvor ergibt sich, dass das letzte Glied der Gleichung einmal mehr potenziert wird als das letzte Glied der ersten Gleichung. Subtrahiert man nun wieder die sich entsprechenden Seiten der zweiten Gleichung von denen der ersten Gleichung so ergibt sich

Die so entstandene Gleichung lösen wir nach BWLeasingratenstrom in zwei Schritten auf und erhalten die allgemeine Gleichung zur Berechnung des Barwerts eines vorschüssigen Leasingratenstroms

 

wobei gilt           und       

Zusammenfassung

Nachdem wir im vorherigen Kapitel den Barwert einzelner Leasingraten berechnet haben, haben wir in diesem Kapitel gelernt, wie man den Barwert mehrerer aufeinanderfolgender Leasingraten auf einmal berechnet. Hierbei ist zu beachten, dass Voraussetzung für die Gültigkeit der allgemeinen Gleichungen ist, dass die Leasingraten jeweils gleich hoch sind und in gleichen Abständen gezahlt werden. Diese Voraussetzungen sind allerdings in der Praxis fast immer erfüllt. Ferner haben wir festgestellt, dass die Zahlungsperioden (z. B. monatlich, vierteljährlich, halbjährlich) in der jeweiligen Berechnung beachtet werden müssen, indem man den Zins pro Periode korrekt erfaßt und die Anzahl der Perioden der Anzahl der Zahlungen anpaßt.