Zinseszinsen

Dass die Zinsrechnung der mathematische Kern der Leasingkalkulation ist wurde eingangs schon gesagt. Bevor wir jedoch konkret auf Leasingkalkulation zu sprechen kommen, soll in diesem Kapitel noch ein wichtiger Grundstein zur Unterlegung des allgemeinen Verständnisses der Zinsrechnung gelegt werden.

Erweitern wir nun das Beispiel aus den vorhergehenden Kapiteln.

Wieder sei unser Ausgangszeitpunkt der 1. Januar 2003. Nur diesmal beabsichtigen Sie Ihr Geld nicht ein sondern drei Jahre anzulegen. Demzufolge ist dann der Endzeitpunkt der 31. Dezember 2005. Der Zinssatz soll wieder 2% pro Jahr sein. Die Bank schreibt Ihnen jeweils zum Jahresende die bis dahin entstandenen Zinsen gut. Der Einzahlungsbetrag ist 1.500 €, sonstige Beträge werden und wurden nicht von Ihnen auf das Sparbuch eingezahlt. Weiterhin soll von nun ab auf die Angabe der Währung verzichtet werden. Gehen wir davon aus, dass es sich schlicht um Geldeinheiten handelt.

Klären wir zunächst schrittweise, was sich zum Anfang und Ende jedes Jahres auf Ihrem Sparbuch befindet.

Jahresbeginn Barwert Berechnung Jahresende Endwert
1.1.2003 1.500,00 1.500,00 * 1,02 31.12.2003 1.530,00
1.1.2004 1.530,00 1.530,00 * 1,02 31.12.2004 1.560,60
1.1.2005 1.560,60 1.560,60 * 1,02 31.12.2005 1.591,81

Der jeweilige Barwert zum Jahresbeginn wird mit dem Aufzinsungsfaktor 1,02 multipliziert, um den Endwert des selben Jahres zu ermitteln. Das Ergebnis ist dann der Barwert zu Beginn des Folgejahres. Anders dargestellt ist der Endwert des Sparguthabens:

oder kurz

Wie zuvor wollen wir anhand dieses Beispiels uns ebenfalls anschauen, welcher Weg zur Berechnung des Barwerts führt, wenn nur der Endwert und der Zinssatz bekannt sind.

Auch hier heißt es, den Endwert mit dem inversen Aufzinsungsfaktor zu multiplizieren. Wie Sie sich erinnern, ermittelt man den inversen Wert einer Zahl, indem man 1 durch Sie teilt. Das Ergebnis ist der Abzinsungsfaktor.

Also führt unser Weg zurück vom Endwert zum Barwert durch Berechnung von

An dieser Stelle soll die erste allgemeine Regel verfaßt werden:

Es gilt:

BW = Barwert
EW = Endwert
n = Anzahl der Perioden (im Beispiel die Anzahl der Jahre)
F = Aufzinsungsfaktor
f = Abzinsungsfaktor
i = Zinssatz pro Periode

Dann lautet die Formel zur Berechnung des Endwertes einer Einzahlung, die in aufeinander folgenden gleich langen Perioden zu einem gleich hohen Zinssatz verzinst wird:

wobei gilt:  

Die Formel zur Berechnung des Barwertes eines Endwertes bei zurückliegenden aufeinander folgenden gleich langen Perioden und jeweils gleichem Zinssatz pro Periode lautet:

wobei gilt: