Einfache Verzinsung

1. Vorüberlegungen

Leasinggesellschaften bedienen sich u.a. bei der Berechnung von Leasingraten oder dem Wert von vertraglich entstandenen zukünftigen Leasingforderungen (also Leasingraten, zu deren Zahlung der Leasingnehmer per Leasingvertrag verpflichtet ist) der Zinsrechnung. Die Gründe hierfür sind sicherlich interessant und vielfältig, sollen aber im Rahmen dieses Beitrags nicht diskutiert werden. Wesentlich an dieser Stelle ist jedoch, dass die Zinsrechnung den mathematischen Kern von Berechnungen zu einzelnen oder mehreren Leasingengagements darstellt.

So könnte zum Beispiel die Vorgabe bei der Erstellung eines Leasingangebots sein, dass man beim Einsatz von 100.000 €, die man für den Kauf eines Leasingobjektes benötigt (z. B. ein Baukran), durch die zu vom Leasingnehmer zu zahlenden Leasingraten eine Verzinsung von insgesamt 8% pro Jahr erzielen möchte. Diese 8% decken zum einen die Finanzierungskosten der Leasinggesellschaft zum anderen auch Kostenanteile für Gehälter, Büromieten, Telefonentgelte etc. Wie die Leasinggesellschaft zur Bestimmung des jeweiligen Zinssatzes kommt, soll hier auch nicht weiter erörtert werden. 

Die Frage, die hier jedoch letztlich geklärt werden soll, ist:

Wie wird die Vorgabe, z. B. 8% pro Jahr erzielen zu wollen, mathematisch umgesetzt.

 

Gegenwartswerte und Zukunftswerte

Dass Geld sich verzinst müssen wir zunächst einmal voraussetzen. Der gründliche Wissenschaftler würde an dieser Stelle vorerst klären, warum und wie Zinsen durch den Einsatz von Geld entstehen und dies durch Heranziehung wirtschaftswissenschaftlicher Theorien und Prinzipien untersuchen. Da die Verzinsung des Geldes jedoch eine offensichtliche Realität darstellt, soll hier auf diesbezügliche Erörterungen verzichtet werden.

Beispiel:

Sie gehen heute zur Bank und zahlen dort 1.500 € auf Ihr Sparbuch ein (was der gewiefte Leser wahrscheinlich in Wirklichkeit nicht machen würde). Nehmen wir an, heute ist der 1. Januar 2003. Sie beschließen, das Geld 1 Jahr auf der Bank zu lassen. Die Bank zahlt Ihnen 2% Zinsen pro Jahr und rechnet jeweils zum Jahresultimo (das ist der letzte Tag des Jahres) ab. Wieviel EURO Zinsen zahlt Ihnen die Bank, wenn sie Ihnen die Zinsen zum Jahresende gutschreibt.

(Bzgl. der Schreibweise siehe "Prozentrechnung"). Wie hoch wäre Ihr Sparkontostand zum Jahresende, wenn die o. g. Einzahlung die einzige bisher getätigte wäre.

Nämlich die anfangs eingezahlten 1.500 € zuzüglich der 30 € Zinsen. Folgende Verkürzung dieses mathematischen Ausdrucks ist hilfreich und für das weitere Verfolgen dieses Beitrags wesentlich:

Nun ist eine gute Gelegenheit zwei Begriffe einzuführen. Die am 1. Januar 2003 gezahlten 1.500 € stellen den sog. Gegenwartswert oder auch Barwert des Einzahlungsbetrags dar. Der am 31. Dezember 2003 entstandene Gesamtbetrag von 1.530 € ist der Zukunftswert oder auch Endwert des eingesetzten Geldes.

                    

Wir haben gesehen, dass wir den Endwert des eingezahlten Geldbetrages durch Multiplikation mit dem Faktor 1,02 errechnet haben. Der Faktor 1,02 nennt sich Aufzinsungsfaktor.

Will man aus einem bekannten Endwert (Zukunftswert) den Barwert (Gegenwartswert) errechnen, so muß man den Rechenvorgang umkehren, indem man den Endwert durch den Aufzinsungsfaktor teilt.

Anders geschrieben sieht das folgendermaßen aus:

Wandelt man den Bruch in eine Dezimalzahl um so erhalten wir

Der Faktor 0,980392 stellt den sogenannten Abzinsungsfaktor dar. Er ist der inverse Wert (Umkehrwert) des Aufzinsungsfaktors und wurde ermittelt, indem wir 1 durch den Aufzinsungsfaktor geteilt haben. Der Abzinsungsfaktor, wie oben dargestellt, ist nicht voll genau. Tatsächlich hat der Abzinsungsfaktor mehr als die sechs angegebenen Stellen hinter dem Komma. Aus Darstellungsgründen begnügen wir uns hier mit den gezeigten sechs Nachkommastellen.

Der guten Ordnung halber sei noch auf folgendes verwiesen:

Es kann ja auch sein, dass man sein Geld unterjährig (beispielsweise am 14. Juni) einzahlt, was eine andere Vorgehensweise bei der Berechnung der Zinsentwicklung erfordert. Unterstellt man weiterhin, dass die Bank jeweils zum Ende des Kalenderjahres Zinsen gutschreibt, dann müßte man tagesgenau zunächst sein Guthaben per Ende des laufenden Jahres errechnen, also den Kontostand, nachdem die Bank die Zinsen zum Jahresultimo gutgeschrieben hat. Wenn der Betrachtungszeitraum 1 Jahr ist, wird der Kontostand zum 14. Juni des Folgejahres sich im Vergleich zum Endstand per Ende des ersten Kalenderjahres nicht verändert haben, da die Bank die Zinsen ja erst zum Ende des Folgejahres gutschreibt. Will man trotzdem wissen, auf wieviel Zinsen man zumindest theoretisch per 14. Juni des Folgejahres Anspruch hat, dann ist zu berücksichtigen, dass die Bank nun auch Zinsen auf die Zinsen zahlt, die sie zum letzten Jahresultimo gutgebracht hat. Dies ist aber ein anderes Kapitel und soll nicht weiter vom bisher erarbeiteten Gedankengang ablenken.

Zusammenfassung

Wir haben unter Anwendung der im Kapitel "Prozentrechnung" favorisierten Schreibweise sehr einfache Zinsrechnungen durchgeführt. Hierbei haben wir die Begriffe Bar- und Gegenwartswert einerseits sowie End- und Zukunftswert andererseits kennen gelernt. Zukunftswerte wurden durch Aufzinsung ermittelt, Gegenwartswerte durch Abzinsung, wobei zunächst die jeweiligen Auf- bzw. Abzinsungsfaktoren ermittelt wurden.