Zins berechnen

Für die Ermittlung der Verzinsung einer Investition bzw. hier eines Leasingengagements hält die Mathematik leider keine Formel bereit, die durch einfaches Einsetzen der bekannten Größen eine relativ schnelle Berechnung der Verzinsung des Leasingengagements erlaubt. Die Problematik liegt darin, dass sich die Auflösung einer Gleichung n-ten Grades (n-ten Grades sind Gleichungen mit großer Hochzahl) als schwierig und vor allem langwierig darstellt. 

Der nachstehend beschriebene Lösungsweg greift auf den mathematischen Ansatz zurück, der allgemein als lineare Interpolation bezeichnet wird. Interpolation heißt die Berechnung eines Wertes zwischen zwei bekannten Werten. Was es mit dem Begriff linear auf sich hat, soll später verdeutlicht werden.

Schaffen wir uns zunächst eine Ausgangsbasis:

Vertragstyp
AW (Anschaffungswert)
LFZ (Laufzeit)
RW (Restwert)
LR (Leasingrate)
Zins p.a.
Zahlungsfälligkeit
Teilamortisation
20.000,00
36 Monate
2.000,00
1.681,62
7%
vierteljährlich/vorschüssig

Da das Thema dieses Kapitels die Zinsermittlung ist, gehen wir davon aus, dass wir den o. g. Zinssatz von 7% gar nicht kennen.

Machen wir zum Einstieg nun einige Beobachtungen. Wir schauen uns zunächst an, welche Barwerte (Anschaffungswerte) wir errechnen, wenn wir in die allgemeine Formel "Barwert des Leasingvertrags bei vorschüssiger Zahlungsweise und Restwert" die Zinssätze 2%, 3%, 4% und 5% einsetzen.

Zins Barwert
1. bei 2%
2. bei 3%
3. bei 4%
4. bei 5%
21.520,13
21.201,87
20.890,92
20.587,10

In den Schritten 1 bis 4 haben wir den Zinssatz jeweils um 1 erhöht. Jetzt schauen wir uns an, wie sich der jeweilige Barwert vermindert.

Zins Barwert Veränderung des Barwerts
1. bei 2%
2. bei 3%
3. bei 4%
4. bei 5%
21.520,13
21.201,87
20.890,92
20.587,10

318,26
310,95
303,82

Generell zu beobachten ist, dass sich mit Erhöhung des Zinssatzes der Barwert vermindert. Ebenso vermindert sich die jeweilige Veränderung des Barwerts.
Die hier wesentliche Beobachtung ist jedoch, dass bei gleichgroßen Zinssprüngen keine gleichgroßen Barwertveränderungen entstehen. Das heißt, das Verhältnis zwischen Zins und Barwert ist nicht linear. Umgekehrt kann man von fast linear sprechen, wie die unten abgebildete Kurve, die fast wie eine Gerade aussieht, verdeutlicht.

Dieser generelle Kurvenverlauf ist typisch für Zahlungsströme aus Leasingengagements.

Dies legt folgende Vorgehensweise nahe:

Man unterstellt Linearität bei der Barwertentwicklung  und schließt von dem Verhältnis zwischen Zinssprung und Barwertveränderung schrittweise auf den gesuchten Zins. Durch diese Vorgehensweise kommt man zu recht akzeptablen Ergebnissen.

Der oben errechnete Barwert bei 2% ist 21.520,13 (BW 2), der bei 3% ist 21.201,87 (BW 3). Die Differenz zwischen den beiden Barwerten ist 318,26 (Diff. 1). Wir gehen jetzt davon aus, dass sich pro 1% (ZSP 1) Zinssteigerung der Barwert jeweils um 318,26 verändert. Der Zielbarwert ist 20.000 (BW Z). Die Differenz zwischen dem Barwert bei 2% und dem Zielbarwert ist 1.520,13(Diff. Z), so dass wir uns die Frage stellen:

Wieviel 1% ( ZSP 1) Zinsschritte müssen wir ausgehend von 2% machen, um die Barwertdifferenz von 1.520,13 (Diff. Z) zu erreichen. Dies läßt sich durch eine einfache Gleichung darstellen. Da bei der hier praktizierten Unterstellung von Linearität gilt:

Löst man die Gleichung nach x, dann erhalten wir

Das gesuchte x beträgt demnach 4,77638 (auf fünf Nachkommastellen gerundet).

Dies ist also die Anzahl der 1% Zinsschritte, die wir bei unterstellter Linearität von 2% aus gehen müssen, um einen Barwert von 20.000 zu errechnen.

2 + 4,77638 ist jedoch nur 6,77638 und nicht wie wir ausnahmsweise wissen 7%. Jedoch haben wir schon einmal ein wertvolles Zwischenergebnis erzielt, da wir uns bereits in der unmittelbaren "Nachbarschaft" des gesuchten Wertes befinden.

In einem zweiten Schritt wird dieser Vorgang wiederholt. Jedoch gehen wir jetzt von zwei Probezinssätzen aus, die je eine positive und negative Abweichung von 6,77638 in Höhe von 0,5 haben, also 6,27638 und 7,27638.

Der Barwert bei einem Zins von 6,27638 ist 20.209,32 (BW 3) und bei einem Zins von 7,27638 beträgt er 19.920,96 (BW 4). Der Zinssprung beträgt also wieder 1% (ZSP 2), die zum Zinssprung von 1% gehörige Barwertveränderung (Diff. 3) ist 288,36. Die darzustellende Barwertveränderung ist die Differenz von BW 3 zu BW Z (Zielbarwert), also 209,32 (Diff. Z1). Durch Einsetzen in die oben genannte Gleichung berechnen wir erneut die ab 6,27638 nötigen 1% Zinsschritte aus, um einen Barwert von 20.000 zu erhalten.

6,27683 + 0,72590 ist 7,00273. Wie Sie sehen liegt bereits ein auf zwei Nachkommastellen genaues Ergebnis vor. Wiederholen wir nun den Vorgang zu guter letzt ein drittes Mal. Unsere zwei Probezinssätze sollen jetzt nur noch eine Abweichung von 0,01 vom bisherigen Zwischenergebnis haben, also 6,99273 mit 20.002,22 (BW 5) und 7,01273 mit 19.996,48 (BW 6). Diff. 4 ist demnach 5,74 bei einem Zinssprung von 0,02 (ZSP 3). Ausgehend vom Barwert bei einem Zinssatz von 6,99273. ist Diff. Z2 gleich 2,22.

6,99273 + 0,00774 ist 7,00047. Der Barwert bei diesem Zinssatz ist 19.999,87.

An dieser Stelle soll dieses iterative (schrittweise) Vorgehen enden. Was zu zeigen war, ist, dass durch das lineare Interpolieren auf einem mathematisch verhältnismäßig einfachen Weg für die Praxis akzeptable Näherungswerte zu ermitteln sind. Hätten wir bis hierhin eine höhere Nachkommastellengenauigkeit walten lassen (statt nur fünf Nachkommastellen) wären wir bereits bei einem auf sechs Nachkommastellen genauen Zinswert mit einer Barwertabweichung vom gesuchten Barwert von deutlich weniger als eine hunderstel Geldeinheit (bei EURO also weniger als ein Cent) angelangt. 

Je nach gewünschter Genauigkeit kann man dieses Verfahren um die notwendigen Schritte erweitern. Je kleiner der Zinssprung über den gesuchten Zinssatz ist, umso genauer werden die Ergebnisse. Zu beachten ist jedoch, dass wenn man mit besonders großen Zahlen rechnet, zum Beispiel wenn ein Flugzeug für viele Millionen verleast wird, die Iterationen sich der Anzahl nach erhöhen müssen.

Für besonders interessierte Leser:

Geometrisch gesehen, versucht man durch das lineare Interpolieren die Steigung einer Geraden zu ermitteln, die durch die beiden Barwertpunkte an den Stellen der Probezinssätze läuft (vgl. obiges Diagramm), um sich an die Steigung (oder das Fallen) der Barwertkurve am gesuchten Barwertpunkt (im Beispiel 20.000) "heranzutasten". Je näher die Probezinssätze um den gesuchten Zinssatz herumliegen, umso mehr stimmt die Steigung dieser Hilfsgeraden mit der Steigung der Kurve im gesuchten Punkt überein. Je näher Geraden- und Kurvensteigung bei einander liegen, umso genauer wirkt sich das oben durchgeführte Verfahren aus.

Nun wird sich vielleicht der eine oder andere Fragen, ob so eine Berechnung nicht doch ein wenig lange dauert. Die Antwort ist eindeutig "Ja!". Zumindest, wenn man sich tatsächlich "zu Fuß" an die Sache heranmacht. Dies gilt übrigens für den Großteil der hier vorgestellten Gleichungen. Wer allerdings verstehen will, wie man z. B. das Problem der Zinsberechnung löst, der sollte sich das oben genannte Verfahren ruhig verinnerlichen. Nicht viel anders wird die Aufgabe der Zinsermittlung in Tabellenkalkulationsprogrammen wie MS Excel oder in den in der Leasingbranche üblichen HP Taschenrechnern abgearbeitet.

Auch für Softwareentwickler ist das oben genannte Verfahren eine gute Basis um einen maschinellen Algorithmus für die Zinsberechnung in proprietären Anwendungen zu erstellen.